Дата рождения неизвестна.
В 1929 году приехал с сыном в Бобрики (ныне город Новомосковск). Вместе со своей бригадой Н. Е. Дёмкин работал на южном участке строительства химического комбината, клал печи бараков, стены цехов.
В его бригаде давали рекордно высокие нормы кладки кирпича - выполняли план не меньше чем на 150 %, в частности, сын давал 160-170 %, а сам Никита Егорович - не менее двух норм кладки кирпича.
20 мая 1930 года был удостоен высокой чести заложить первый кирпич на строительстве химкомбината.
22 декабря 1933 года Президиумом Центрального Исполнительного Комитета СССР Дёмкин за свой ударный труд был награждён орденом Ленина. Кроме того был 15 раз премирован. Входил в состав делегации, направленной в Москву к народному комиссару тяжёлой промышленности Серго Орджоникидзе по случаю ввода в эксплуатацию первой очереди химического комбината. Отмечается, что, пожав всем руки, нарком заговорил в первую очередь со старшим по возрасту - Н. Е. Дёмкиным.
23 декабря 1933 года, когда правительственный поезд прибыл на станцию Маклец, Дёмкин лично преподнёс Орджоникидзе цветы.
Во время Великой Отечественной войны, в 1941 году (по другим данным - в 1942 году), Никита Ефимович Дёмкин погиб при бомбардировке территории химкомбината.
27 июля1967 года решением Новомосковского горисполкома № 623 улице в Урванском микрорайоне было присвоено имя Никиты Ефимовича Дёмкина. На доме № 7/1 установлена мемориальная доска в память о знаменитом первостроителе химкомбината.
